블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #2(기하학적 브라운 운동)

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #2(기하학적 브라운 운동)

주가의 변동은 위너 과정만으로 설명하기 부족하다.

변동성이 주가에 큰 영향을 미치겠지만, 주가에는 드리프트가 존재한다. 카 레이싱의 드리프트요?

드리프트는 주가가 무위험 수익률 만큼 성장한다던가, 물가 상승(인플레이션) 만큼 상승한다던가 하는 등의 효과다.

이 효과는 주가 자체가 가지는 변동성과는 무관하다.

지금부터 학습할 기하학적 브라운 운동은 이 같은 주가의 특성을 반영하여 주가의 움직임을 표현한 것이다.

하지만 이 역시도 현실을 완벽하게 반영할 수 없기 때문에 몇 가지 가정을 전제한다.

1. 주가는 불확실하다.

2. 주가의 변화는 연속적이다.

3. 주가는 로그정규분포를 따른다.

4. 주가수익률은 정규분포를 따른다.

5. 주식의 기대수익률과 수익률의 불확실성은 보유기간에 비례한다.

서적마다 표현 등의 차이가 있겠지만, 대부분 위와 같은 가정을 전제한다.

그리고 이를 통해 주가의 확률과정 모델을 제시한다.

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주가의 확률과정 모델

는 주가의 기대수익률이고, 는 주가의 변동성이다.

주가는 평균적으로 얼마의 수익률을 가지면서 어느 정도의 표준편차만큼 변동한다. 정도로 쉽게 생각하자.

이 때 그 변동성이 어떻게 움직일 것인가에 대해서는 z가 표현해주고 있다.

z는 앞서 학습했던 위너과정이다. 위너과정 http://sejinworld.tistory.com/30

그렇다면 위 식을 라는 짧은 이산 시간에 대해서 위너과정을 넣어 다시 쓸 수 있다.

위 모델은 연속모델인 주가의 확률과정 모델을 이산화한 것이다.

주가의 변화가 연속적이라는 가정과 다르기에 그에 따른 오차가 발생한다.

하지만 현실에서 사건을 연속적으로 관찰하는 것은 아주 어렵기 때문에 이산 모델은 의미가 있다.

앞서 주가는 로그정규분포를 따른다고 가정하였다.

이제 가정을 만족하는 기하학적 브라운 운동의 수식을 알아보자.

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기하학적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion : GBM)

결론부터 말하자면 마지막 수식이 GBM이다.

순차적으로 충분히 이해가 되지만, 첫 수식은 조금 뜬금 없다.

앞서 학습한 이산 모델과 구조는 비슷해보이지만 확실히 다르다.

왜 그런지 궁금하니, 그 유도 과정을 살펴보겠다.

지금부터 옵션의 가격결정에서 학습했던 이항모델을 주가에 적용하겠다.

추가로 랜덤워크부터 위너과정으로 확장했던 기억을 되살릴 필요가 있다.

랜덤워크 http://sejinworld.tistory.com/30

전체 nt 번의 횟수만큼 랜덤워크를 시행한다고 할 때, 각 t시점의 주가는 위와 같이 표현할 수 있다.

nt 회 중에서 상승한 횟수를 H, 하락한 횟수를 T라고 한다면, t시점의 주가를 일반화할 수 있다.

H와 T의 합은 전체 시행 횟수 nt이고, H와 T의 차는 랜덤워크의 시행 결과 M과 같다.

이를 이용해 H와 T를 nt와 M으로 치환하겠다.

이 식을 양변에 자연로그를 취하겠다.

여기서 잠시, 위 식을 정리하기 위해 테일러 급수를 활용해야 한다. 테일러 급수요?

테일러 급수에 대해 정확하게 알면 좋지만, 지금 사용되는 테일러 급수의 예를 하나만 알아보겠다.

우선 x에 해당하는 값의 절대값이 1보다 작은지 생각해보자.

기대수익률과 변동성을 구간 t를 세분화한 n이라는 시행횟수로 나눈 값이다.

시행횟수를 무한하게 늘려서 이산 모델을 연속으로 설정할 것이다.

그러므로 n은 무한히 큰 수가 될 것이고, x에 해당하는 값의 절대값이 1보다 작다고 봐도 전혀 문제가 없다.

이제 다시 식을 정리해보자.

복잡했던 식이 비교적 정리가 되어가고 있다.

앞서 말했듯이 n 을 무한대로 늘려 한번 더 정리할 수 있다.

이고 아래의 나머지 항들은 0 이 되어,

위와 같은 기하학적 브라운 운동의 식을 얻을 수 있다.

다소 복잡하지만 충분히 이해할 수 있고, 그 유도를 알아본 GBM모델을 이용해 주가를 시뮬레이션 해보자.

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현재 주가 2000인 어느 주식의 일간 변동을 1년간 시뮬레이션하자.

이 주식의 기대수익률은 0.2이고, 변동성은 0.3이다. 1년은 250일로 계산한다.

Sub GBM_Simulation()
    Dim St As Double        '주가
    Dim T As Double         '기간
    Dim Mu As Double        '기대수익률
    Dim Sigma As Double     '변동성
    Dim Days As Double      '일수
    
    Dim deltaT As Double    'dt
    Dim epsilon As Double   '확률과정
    
    Dim i As Long
    Dim r As Long
        
    St = 2000
    T = 1
    Mu = 0.2
    Sigma = 0.3
    Days = 250
    
    deltaT = T / Days
    
    Randomize
    
    r = 2
    
    For i = 1 To Days
        epsilon = WorksheetFunction.NormInv(Rnd(), 0, 1)
        St = St * Exp((Mu - 0.5 * Sigma ^ 2) * deltaT + Sigma * epsilon * Sqr(deltaT))
        
        Worksheets("Sheet1").Cells(r, 1) = i
        Worksheets("Sheet1").Cells(r, 2) = St
        
        r = r + 1
    Next i
    
End Sub
 

랜덤추출을 이용하였기 때문에, 완전히 같은 결과는 나오지 않을 것이다.

결과를 보면 GBM 모델이 주가의 움직임을 설명하기에 충분해보인다.

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확률과정은 이 정도로 학습을 마치고자 한다.

블랙 숄즈 모형을 정확히 알기 위해서는 이토(Ito) 과정을 추가적으로 이해해야 한다는데...

편미분하고 아주 난리도 아니라서, 필자는 그정도까지 학습하지 않을 생각이다.

그래서 다음에 학습할 블랙 숄즈 모형도 결과만 확인하여 활용만 하겠다. 그냥 가져다 쓰기만 할래 ㅠ