블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #3(옵션가격 결정식)

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #3(옵션가격 결정식)

어느 서적이든 '노벨상에 빛나는' 이라는 수식어로 소개하는 브랙 숄즈 모델,

대망의 그 옵션 가격 결정 모형을 알아보겠다.

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블랙 숄즈 머튼 모형

C : 콜 프리미엄

P : 풋 프리미엄

S : 기초자산 가격

K : 행사가격

r : 무위험 이자율

: 기초자산의 변동성

T : 잔존만기

N(x) : 표준정규분포의 누적밀도 함수, 표준정규분포를 따르는 변수가 x보다 작을 확률

공식은 이러한데, 이 공식에는 여러 가정들이 전제되어 있다.

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가정

1. 주가는 연속확률과정을 따른다.

많은 의미를 내포하고 있는 가정인데, 일반적으로 기하 브라운 운동, 이토 과정을 따른다고 한다.

이는 위너 과정을 따른다고 할 수 있는데, 위너 과정은 기초자산의 수익률의 평군과 분산이 일정하다는 가정을 포함한다.

또한, 기하 브라운 운동은 주가가 로그정규분포를 따른다는 등의 가정을 전제한다.

위너 과정 http://sejinworld.tistory.com/30

기하 브라운 운동 http://sejinworld.tistory.com/38

2. 주식은 무한히 세밀하게 분할할 수 있으며, 주식의 거래는 연속적으로 이루어진다.

3. 주식에 대한 완전한 공매도가 가능하다.

공매도란 말 그대로 '없는 물건을 파는 것' 이다. 

보유하지 않은 주식을 빌려서 매도하고, 일정기간(수익을 발생시킨) 후에 주식을 매입하여 빌려준 곳에 돌려주는 것이다.

국가마다 이를 금지하기도 하는데, 우리나라는 금융위기 직후 완전 금지되었다가 비금융주는 해제되었다고 한다.

4. 옵션 만기까지 무위험 이자율은 일정하다.

5. 옵션 만기 이전에 배당금은 존재하지 않는다.

5. 옵션은 만기까지 행사되지 않는 유러피언 옵션이다.

6. 무위험 차익거래의 기회는 존재하지 않는다. (No Arbitrage)

7. 시장은 완전 자본 시장이다.

완전 자본 시장이란, 세금과 거래비용(정보를 얻는 비용, 전환비용 등)이 없고 재무적으로 곤경한 상황이 발생하지 않는다.

여기서 재무적 곤경이란 부채 증가 등으로 인해 기업이 재무적 의무를 다하기 어려워지는 것을 말한다.

완전 자본 시장에서는 시장에 동등하게 접근할 수 있고, 독과점이 없는 모든 시장 참여자가 경쟁하는 시장이다.

또한, 시장 속의 모든 자산은 무한히 분할 가능하고, 모든 투자자들은 각 자산의 미래 수익에 대해 동일하게 예상한다.

8. 투자자들은 위험 중립적이다.

위의 가정 아래 만들어진 공식을 다시 한번 살펴보면서 그 의미를 해석해보겠다.

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공식의 의미

콜 프리미엄에 대해서 의미를 따져보겠다.(풋 프리미엄은 그 반대니까)

큼직하게 보면, 기초자산의 현재가격과 행사가격의 현재가격의 차이다. 다만, 두 현재가격이 단순한 할인은 아니다.

기초자산의 현재가격은 만기 시점까지 등락할 기초자산 가격의 기대값의 현재가격이고,

행사가격의 현재가격은 만기 시점에 콜 옵션이 행사될 경우를 고려한 값이다.

즉, 기초자산 가격과 행사가격에 특정 확률이 가중된 값 정도로 보면 되겠다.

그렇다면, 가중된 값인 N(d1)과 N(d2)를 어떻게 해석할 수 있을까?

우선 콜 옵션의 상황을 생각해보자. 

유러피언 콜 옵션은 만기 시점에 기초자산의 가격이 행사가격보다 높은 경우에만 내재가치가 존재한다.

그 외에는 가치가 0이므로, 다른 상황은 전혀 고려할 필요가 없다.

이러한 상황임을 인지하고, 행사가격과 기초자산 가격을 먼저 살펴보겠다.

행사가격, 무위험 이자율(가정에 의해)은 만기 시점으로 흘러가는 동안 기초자산 가격과 달리 변함이 없다.

행사가격의 현가에 영향을 주는 것은 가중된 값일텐데, 이 값은 앞서 고려한 상황이 발생할 확률인 것이다.

다시 말해, N(d2)는 만기 시점에 기초자산 가격이 행사가격보다 높을 확률, 유러피언 콜 옵션이 행사될 확률이다.

기초자산의 가격은 계속해서 변한다. 물론 변하지 않을 수 있지만, 거의 그렇지 않다는 것이다.

그 가격의 기대값의 현가를 계산하기 위해 어떤 가중을 하였는지 알아보자.

콜 옵션의 경우 기초자산의 가격이 상승할수록 행사 시에 수익이 증가한다.

다시 말해, 기초자산 가격이 상승할 가능성이 높다면, 콜 프리미엄은 당연히 높다는 것이다.

그러므로 가격 결정식에 기초자산 가격이 변할 때 콜 프리미엄의 변화를 나타내는 측도가 포함되어 있다.

결론적으로, N(d1)은 옵션가격의 기초자산 가격 변화에 대한 민감도를 의미한다.

민감도라고 쉽게 표현하긴 했지만, 이는 주가의 확률 분포를 이용해 그 가중평균을 현가로 할인하는 역할이다.

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블랙 숄즈 옵션가격 결정식에 대해 알아보았으니, 이를 VBA를 이용해 실습해보자.

현재 가격이 1000인 주식을 기초자산으로 하는 행사가격 1050, 잔존만기 1년의 유러피언 콜 옵션의 가격을 계산하자.

무위험 이자율은 연 5%이고, 기초자산의 변동성은 연 30%로 계산한다.

Sub BSM_EU_Call()
    Dim s As Double     '기초자산 가격
    Dim k As Double     '행사가격
    Dim r As Double     '무위험 이자율
    Dim t As Double     '잔존만기
    Dim v As Double     '변동성
    
    Dim d1 As Double
    Dim d2 As Double
    Dim c As Double     '콜 프리미엄
    
    s = 1000
    k = 1050
    r = 0.05
    t = 1
    v = 0.3
    
    d1 = (Log(s / k) + (r + (v ^ 2) * 0.5) * t) / (v * Sqr(t))
    d2 = d1 - v * Sqr(t)
    
    With WorksheetFunction
        c = s * .NormSDist(d1) - k * Exp(-r * t) * .NormSDist(d2)
    End With
    
    Debug.Print "European Call Premium : "; Format(c, "standard")
    
End Sub
 

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이것으로 블랙 숄즈 머튼 모형에 대한 학습을 마치겠다고 하고 싶었다.

정말 결과만 알고 넘어가려고 했는데, 이런 날로 먹는 행위는 용서할 수 없다.

너무 깊게 들어가진 않을테지만, 다음에는 공식이 어떻게 만들어졌는지 간단히 알아보겠다.