세진세상

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #6(뉴턴 - 랩슨) 옵션의 이론 가격을 계산할 때, 대부분 알고 있거나 알만한 값을 이용한다. 그러나 변동성은 그렇지 않기 때문에, 그 값을 추정할 때 신중해야 한다. 앞선 학습에서 역사적 변동성을 알아보았는데, 실제 적용에는 무리가 있다. 역사적 변동성 http://sejinworld.tistory.com/49 지금부터 역사적 변동성보다 설득력 있는 내재변동성이라는 것을 알아보겠다. 내재변동성은 현재 시장 가격으로부터 변동성을 역으로 뽑아내는 것이다. 시장의 옵션 가격과 나머지의 거의 결정된 값들을 블랙 숄즈 옵션가격 결정식에 대입하여 계산해낸다. 하지만 이것이 말처럼 쉬운 일이 아니다. 왜냐하면 역함수를 구할 수 없기 때문이다. 역함수? 이러지 말자 ㅠ 쉽게 말해, 블..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #5(역사적 변동성) 블랙 숄즈 모형을 활용해 옵션의 가격을 계산할 때, 기초자산의 변동성이 중요시 된다. 앞선 학습의 예시에서는 '변동성은 얼마다'하고 계산했지만, 실제로 변동성은 알아내기는 쉽지 않다. 알아내었다 하더라도 그것은 추정이지 확실한 값이 아니다. 그렇다고 정확하지도 않을거 알아내서 뭐하냐며 나몰라라 할 수 없는 노릇이다. 어떤 일이 발생할지 예측하는 방법에서 가장 쉬운 접근 방법은 과거를 들추는 것이다. 적절할지 모르겠으나 비유하자면, 동일 전과가 많은 사람이 갱생하기도 하지만 재범을 저지를 수 있다는 이야기다. 큰 충격이 없다면, 어느 기초자산의 앞으로의 변화는 과거의 움직임으로부터 예상할 수 있을 것이다. 이 것이 지금부터 학습할 역사적 변동성이다. 역사..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #4(유도 원리) 블랙 숄즈 옵션가격 결정식을 그야말로 겉만 핥고 지나갈 수 없어서, 유도 과정 말고 원리를 알아보겠다. 유도 원리를 학습하다보면 수학사에 관련한 이야기가 대부분일 것 같다. 분명히 어려운 이론이 포함되어 있지만, 교양을 익히듯 학습해보겠다. 이토 과정, 이토 - 되블린 공식 유도 원리는 확률과정으로부터 시작된다. 기하 브라운 운동으로 표현한 주가의 확률과정 모델을 떠올려보겠다. 주가의 확률과정 모델 http://sejinworld.tistory.com/38 이는 이토 과정과 한 줄기인 듯 하다. 위 모형은 확률 미분 방정식이다. '그거 뭔가요?' 하지 말고, '음, 그렇구나' 하자. 이 방정식의 두 항은 적분의 형태로도 표현할 수 있는데, 그렇게 해놓으니 ..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #3(옵션가격 결정식) 어느 서적이든 '노벨상에 빛나는' 이라는 수식어로 소개하는 브랙 숄즈 모델, 대망의 그 옵션 가격 결정 모형을 알아보겠다. 블랙 숄즈 머튼 모형 C : 콜 프리미엄 P : 풋 프리미엄 S : 기초자산 가격 K : 행사가격 r : 무위험 이자율 : 기초자산의 변동성 T : 잔존만기 N(x) : 표준정규분포의 누적밀도 함수, 표준정규분포를 따르는 변수가 x보다 작을 확률 공식은 이러한데, 이 공식에는 여러 가정들이 전제되어 있다. 가정 1. 주가는 연속확률과정을 따른다. 많은 의미를 내포하고 있는 가정인데, 일반적으로 기하 브라운 운동, 이토 과정을 따른다고 한다. 이는 위너 과정을 따른다고 할 수 있는데, 위너 과정은 기초자산의 수익률의 평군과 분산이 ..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #2(기하학적 브라운 운동) 주가의 변동은 위너 과정만으로 설명하기 부족하다. 변동성이 주가에 큰 영향을 미치겠지만, 주가에는 드리프트가 존재한다. 카 레이싱의 드리프트요? 드리프트는 주가가 무위험 수익률 만큼 성장한다던가, 물가 상승(인플레이션) 만큼 상승한다던가 하는 등의 효과다. 이 효과는 주가 자체가 가지는 변동성과는 무관하다. 지금부터 학습할 기하학적 브라운 운동은 이 같은 주가의 특성을 반영하여 주가의 움직임을 표현한 것이다. 하지만 이 역시도 현실을 완벽하게 반영할 수 없기 때문에 몇 가지 가정을 전제한다. 1. 주가는 불확실하다. 2. 주가의 변화는 연속적이다. 3. 주가는 로그정규분포를 따른다. 4. 주가수익률은 정규분포를 따른다. 5. 주식의 기대수익률과 ..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #1(랜덤워크, 위너과정) 블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델은 노벨상을 수상한 옵션의 가격 결정 모델이다. 모델명에 붙은 블랙, 숄즈, 머튼은 논문은 발표한 세 사람의 이름이다. 블랙과 숄즈가 함께 논문을 내놓았고, 머튼은 간발의 차이로 조금 늦게 거의 같은 논문을 올렸다는 여담이 있다. 자세한 것은 따로 알아보기로 하고, BSM 모델의 기초가 되는 주가의 확률과정을 학습하겠다. 어렵게 생각하면 한 없이 어려울 수 있고, 또 그렇게 생각하면 쉬운게 하나도 없으니;; 최대한 차근차근 익히자. 주가의 확률과정(Stochastic Process) 주가는 과연 어떻게 움직일까? 하는 의문에 한가지 가설을 설정하였다. 바로, 랜덤 워크(Random Walk) 과정이다. 랜덤 워크는 주로..

옵션의 가격 - 이항모델(아메리칸 옵션) 앞서 이항모델을 통한 옵션 가격을 산출하는 학습은 모두 유러피언 옵션만을 고려했다. 그 이유는 이항모델을 이해하는데 조건을 최소화하기 위함이었다. 아메리칸 옵션은 만기 이전에 권리 행사가 가능하다는 조건이 있기 때문에 비교적 까다롭다. 하지만, 이항모델이 적용되는 구조는 거의 동일하므로, 선행 학습이 잘 되었다면 이를 충분히 이해할 수 있다. 유러피언 옵션의 2기간 이항모델 http://sejinworld.tistory.com/17 지금부터 아메리칸 옵션의 이항모델에 대해 알아보겠다. 비교적 쉽게 이해하기 위해, 2기간 이항모델을 활용하겠다. 또한, 행사 시점을 1시점 또는 2시점으로 정하겠다. 언제든지 권리를 행사할 수 있다더니 이건 말이 다르잖소? 우린 유러피..

옵션의 가격 - 이항모델(일반화) #2 이항모델의 일반식을 이해할 사전 지식이 갖춰졌다. 그렇다고 '일반식은 바로 이렇다.'라고 그냥 늘어놓지는 않겠다. 이항분포와 2기간 모델을 적절히 되짚으면서 이해해보자. 2기간 이항모델에서 옵션의 가격을 풀어서 살펴보겠다. 풀어 놓고 구조를 살펴보니, 대괄호 안이 앞서 학습한 이항분포의 형태와 동일하다. 이제 2t 시점의 옵션의 가격을 일반식으로 표현하겠다. 기초자산의 가격의 상승배율을 u, 하락배율을 d라 할때, cdd는 다음과 같이 표현할 수 있다. 기초자산이 오르고 내린 횟수에 따라 콜 옵션의 가격을 일반적으로 표현한 것이다. 그렇다면, 2기간 이항모델에서 옵션 가격의 일반식을 정리해보겠다. 여기서 n기간 이항모델의 일반식으로 확장하는 것은 어려운 일이 아니다..

옵션의 가격 - 이항모델(일반화) #1 앞서 이항모델의 1기간과 2기간의 형태와 수식 표현에 대해 알아보았다. 이를 더 확장하면 N 기간의 이항모델을 표현할 수 있을텐데, 수식의 구조를 이해하기 위해 요구되는 통계학적 지식을 꼭 필요한 부분만 먼저 학습하자.조합 사전적 정의는 '서로 다른 n개 중에서 r개를 순서에 관계 없이 선택하는 경우' 와 같이 설명하고 있다. 수식과 그 계산은 다음과 같다. 조합을 알아야 하는 이유는 곧 학습하게 될 이항분포의 이해에 도움이 되기 때문이다.베르누이 분포 통계학 서적에서 많이 드는 예시로 동전 던지기, 농구 자유투 등이 있다. 이는 앞면/뒷면, 성공/실패로 시행의 결과가 두 가지 경우로만 나타난다. 베르누이 분포는 이러한 성공 또는 실패의 확률을 설명하는 분포다. 성..

옵션의 가격 - 이항모델(2 periods) 이전까지는 1기간의 이항모델에 대해 학습했다. 이를 통해 이항모델의 구조를 파악하였다면, 2기간 모델로 확장하는데 무리가 없을 것이다. 지금부터 2기간 모델의 구조를 간략하게 살펴보겠다. 2기간 동안 기초자산의 가격이 오르고 내려, 위와 같은 구조를 갖게 된다. 이제 그 내부를 자세히 들여다 보자. 우선, 지난 1기간 모델과 마찬가지로 유러피언 옵션만을 고려하겠다. 어느 유러피언 콜 옵션의 만기는 2T이고, 행사가격이 K이다. 만기가 2T 시점이므로 2T 시점의 가치로부터 단계적으로 현재가치를 산출한다. 2T 시점의 콜 옵션의 가치 이제 위 세 경우의 콜 옵션의 가치를 1시점으로 가져올 것이다. 이때 1기간 이항모델의 학습 내용을 떠올려야 한다. 무위험 포트폴..