옵션의 가격 - 이항모델(아메리칸 옵션)

옵션의 가격 - 이항모델(아메리칸 옵션)

앞서 이항모델을 통한 옵션 가격을 산출하는 학습은 모두 유러피언 옵션만을 고려했다.

그 이유는 이항모델을 이해하는데 조건을 최소화하기 위함이었다.

아메리칸 옵션은 만기 이전에 권리 행사가 가능하다는 조건이 있기 때문에 비교적 까다롭다.

하지만, 이항모델이 적용되는 구조는 거의 동일하므로, 선행 학습이 잘 되었다면 이를 충분히 이해할 수 있다.

유러피언 옵션의 2기간 이항모델 http://sejinworld.tistory.com/17

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지금부터 아메리칸 옵션의 이항모델에 대해 알아보겠다.

비교적 쉽게 이해하기 위해, 2기간 이항모델을 활용하겠다. 또한, 행사 시점을 1시점 또는 2시점으로 정하겠다.

언제든지 권리를 행사할 수 있다더니 이건 말이 다르잖소? 우린 유러피언을 이렇게 시작해서 확장했다.

이를테면, 옵션 만기가 이틀 남았는데 행사를 내일이냐 모레냐 한다고 보면 되겠다.

모레까지 기다리지 않고, 내일 권리를 행사하게 된다면 이유가 무엇이겠는가?

모레에 기대되는 가치보다 내일의 가치가 더 높기 때문이다.

즉, 1시점의 가치를 계산할 때 유러피언에서는 2시점의 가치에서 거슬러 오기만 하였는데,

아메리칸의 경우는 거슬러 계산한 가치와 1시점의 가치를 비교해야 한다.

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1시점의 아메리칸 콜 옵션의 가치

2시점은 만기일이므로 동일하지만, 1시점의 가치는 유러피언과 차이가 있다.

그렇게 얻은 두 값을 이용하여, 아메리칸 콜 옵션의 현재 가격을 계산하면 된다.

이를 VBA를 이용해 실습해보겠다.

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현재 가격이 100인 어느 자산을 기초자산으로 하는 행사가 110, 잔존만기 2년인 아메리칸 콜 옵션의 가격을

2기간 이항모델로 산출해보자. 단, 권리 행사는 1년 후 시점과 만기 시점에만 가능하다.

(기초자산의 연간 상승배율은 1.2, 무위험 이자율은 연 5%)

Sub Bi_AmCall_2t()
    Dim s As Double     '기초자산 가격
    Dim k As Double     '행사가격
    Dim rf As Double    '무위험 이자율
    Dim t As Double     '단위시점
    Dim n As Double     '잔존만기
    
    Dim up As Double    '기초자산 가격 상승배율
    Dim dw As Double    '기초자산 가격 하락배율
    
    Dim r As Double     '지수 할인
    Dim rho As Double   '위험중립확률
        
    Dim c As Double
    Dim cu As Double
    Dim cd As Double
    Dim cuu As Double
    Dim cud As Double
    Dim cdd As Double
    
    s = 100
    k = 110
    rf = 0.05
    t = 1
    n = 2
    
    up = 1.2
    dw = 1 / up
    
    r = Exp(-rf * t / n)
    rho = (1 / r - dw) / (up - dw)
    
    With WorksheetFunction
        cuu = .Max(s * up * up - k, 0)
        cud = .Max(s * up * dw - k, 0)
        cdd = .Max(s * dw * dw - k, 0)
        cu = .Max(s * up - k, ((rho * cuu) + (1 - rho) * cud) * r)
        cd = .Max(s * dw - k, ((rho * cud) + (1 - rho) * cdd) * r)
    End With
        
    c = ((rho * cu) + (1 - rho) * cd) * r
    
    Debug.Print c
End Sub
 

사실 코드는 유러피언 콜 옵션의 2기간 모델과 거의 동일하다. cu, cd만 바꿔주면 된다.

결과가 유러피언과 똑같이 나오는데, 잘못된 것 아닌가요??

cu, cd의 최대값이 기존과 동일했기에 같은 결과가 나온 것 뿐이다.

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이렇게 이항모델의 아메리칸 옵션의 적용을 알아보았다.

n기간으로 확장해볼 수 있겠지만, 구조의 차이가 큰 것이 아니므로 이항모델 학습은 여기서 마치겠다.

다음에는 옵션 가격을 계산하는 이론에서 큰 비중을 차지하는 블랙 숄즈 머튼 모형을 알아보겠다.

라고는 했지만, 그 전에 주가의 확률과정(Stochastic process)을 간단히 살펴보겠다.