세진세상

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #3(옵션가격 결정식) 어느 서적이든 '노벨상에 빛나는' 이라는 수식어로 소개하는 브랙 숄즈 모델, 대망의 그 옵션 가격 결정 모형을 알아보겠다. 블랙 숄즈 머튼 모형 C : 콜 프리미엄 P : 풋 프리미엄 S : 기초자산 가격 K : 행사가격 r : 무위험 이자율 : 기초자산의 변동성 T : 잔존만기 N(x) : 표준정규분포의 누적밀도 함수, 표준정규분포를 따르는 변수가 x보다 작을 확률 공식은 이러한데, 이 공식에는 여러 가정들이 전제되어 있다. 가정 1. 주가는 연속확률과정을 따른다. 많은 의미를 내포하고 있는 가정인데, 일반적으로 기하 브라운 운동, 이토 과정을 따른다고 한다. 이는 위너 과정을 따른다고 할 수 있는데, 위너 과정은 기초자산의 수익률의 평군과 분산이 ..

옵션의 가격 - 이항모델(아메리칸 옵션) 앞서 이항모델을 통한 옵션 가격을 산출하는 학습은 모두 유러피언 옵션만을 고려했다. 그 이유는 이항모델을 이해하는데 조건을 최소화하기 위함이었다. 아메리칸 옵션은 만기 이전에 권리 행사가 가능하다는 조건이 있기 때문에 비교적 까다롭다. 하지만, 이항모델이 적용되는 구조는 거의 동일하므로, 선행 학습이 잘 되었다면 이를 충분히 이해할 수 있다. 유러피언 옵션의 2기간 이항모델 http://sejinworld.tistory.com/17 지금부터 아메리칸 옵션의 이항모델에 대해 알아보겠다. 비교적 쉽게 이해하기 위해, 2기간 이항모델을 활용하겠다. 또한, 행사 시점을 1시점 또는 2시점으로 정하겠다. 언제든지 권리를 행사할 수 있다더니 이건 말이 다르잖소? 우린 유러피..

옵션의 가격 - 이항모델(일반화) #2 이항모델의 일반식을 이해할 사전 지식이 갖춰졌다. 그렇다고 '일반식은 바로 이렇다.'라고 그냥 늘어놓지는 않겠다. 이항분포와 2기간 모델을 적절히 되짚으면서 이해해보자. 2기간 이항모델에서 옵션의 가격을 풀어서 살펴보겠다. 풀어 놓고 구조를 살펴보니, 대괄호 안이 앞서 학습한 이항분포의 형태와 동일하다. 이제 2t 시점의 옵션의 가격을 일반식으로 표현하겠다. 기초자산의 가격의 상승배율을 u, 하락배율을 d라 할때, cdd는 다음과 같이 표현할 수 있다. 기초자산이 오르고 내린 횟수에 따라 콜 옵션의 가격을 일반적으로 표현한 것이다. 그렇다면, 2기간 이항모델에서 옵션 가격의 일반식을 정리해보겠다. 여기서 n기간 이항모델의 일반식으로 확장하는 것은 어려운 일이 아니다..

옵션의 가격 - 이항모델(일반화) #1 앞서 이항모델의 1기간과 2기간의 형태와 수식 표현에 대해 알아보았다. 이를 더 확장하면 N 기간의 이항모델을 표현할 수 있을텐데, 수식의 구조를 이해하기 위해 요구되는 통계학적 지식을 꼭 필요한 부분만 먼저 학습하자.조합 사전적 정의는 '서로 다른 n개 중에서 r개를 순서에 관계 없이 선택하는 경우' 와 같이 설명하고 있다. 수식과 그 계산은 다음과 같다. 조합을 알아야 하는 이유는 곧 학습하게 될 이항분포의 이해에 도움이 되기 때문이다.베르누이 분포 통계학 서적에서 많이 드는 예시로 동전 던지기, 농구 자유투 등이 있다. 이는 앞면/뒷면, 성공/실패로 시행의 결과가 두 가지 경우로만 나타난다. 베르누이 분포는 이러한 성공 또는 실패의 확률을 설명하는 분포다. 성..

옵션의 가격 - 이항모델(2 periods) 이전까지는 1기간의 이항모델에 대해 학습했다. 이를 통해 이항모델의 구조를 파악하였다면, 2기간 모델로 확장하는데 무리가 없을 것이다. 지금부터 2기간 모델의 구조를 간략하게 살펴보겠다. 2기간 동안 기초자산의 가격이 오르고 내려, 위와 같은 구조를 갖게 된다. 이제 그 내부를 자세히 들여다 보자. 우선, 지난 1기간 모델과 마찬가지로 유러피언 옵션만을 고려하겠다. 어느 유러피언 콜 옵션의 만기는 2T이고, 행사가격이 K이다. 만기가 2T 시점이므로 2T 시점의 가치로부터 단계적으로 현재가치를 산출한다. 2T 시점의 콜 옵션의 가치 이제 위 세 경우의 콜 옵션의 가치를 1시점으로 가져올 것이다. 이때 1기간 이항모델의 학습 내용을 떠올려야 한다. 무위험 포트폴..

옵션의 가격 - 이항모델(1period) http://sejinworld.tistory.com/11 앞서 학습한 이항모델을 좀 더 일반화하겠다. 1시점에 기초자산의 가치가 특정 배율에 의해 등락한다고 생각해보자. 가치가 상승할 때의 배율을 u, 하락할때의 배율을 d라 했을때, 각 경우의 포트폴리오의 가치는 아래와 같다. Case 1 : Case 2 : (단, ) 배율로 등락된 값을 설정했을 뿐, 기본 골자는 앞서 익힌 이항모델과 같다. 그러므로 두 경우의 가치는 동일하고, 이를 이용해 헤지비율을 산정할 수 있다. 이제 콜 옵션의 현재 가치를 구하기 위해 포트폴리오의 가치를 현재 가치로 할인했던 과정을 되짚어보자. 그렇다, 무위험 포트폴리오이므로 무위험 이자율로 할인한다. 이 등식을 아래와 같은 정리해보겠..

옵션의 가격 - 이항모델 (1period) 옵션의 가격을 알 수 있는 가장 단순하면서 설득력이 있는 이항모델에 대해 알아보자. 제목에서 이미 감이 왔을 것이다. 1기간 동안 가격이 두 가지 형태로만 변한다는 가정하에서 모형을 구성하고, 내재되어 있는 옵션의 가치를 찾아낸다.예를들어, 현재 100원 하는 기초자산이 3개월 후에 120원으로 오르거나 80원으로 내린다. 해당 자산에 대해 행사가격 110원, 잔존만기 3개월인 유러피언 콜 옵션을 생각해보자. 옵션 만기인 3개월 후(이하, 1시점)에 가격이 오른다면(이하, Case 1), 권리를 행사하여 110에 자산을 매입할 수 있고, 콜의 가치는 10 가격이 내린다면(이하, Case 2), 권리를 포기하고 80에 자산을 매입하면 되고, 콜의 가치는 0 1시점..