세진세상

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #4(유도 원리) 블랙 숄즈 옵션가격 결정식을 그야말로 겉만 핥고 지나갈 수 없어서, 유도 과정 말고 원리를 알아보겠다. 유도 원리를 학습하다보면 수학사에 관련한 이야기가 대부분일 것 같다. 분명히 어려운 이론이 포함되어 있지만, 교양을 익히듯 학습해보겠다. 이토 과정, 이토 - 되블린 공식 유도 원리는 확률과정으로부터 시작된다. 기하 브라운 운동으로 표현한 주가의 확률과정 모델을 떠올려보겠다. 주가의 확률과정 모델 http://sejinworld.tistory.com/38 이는 이토 과정과 한 줄기인 듯 하다. 위 모형은 확률 미분 방정식이다. '그거 뭔가요?' 하지 말고, '음, 그렇구나' 하자. 이 방정식의 두 항은 적분의 형태로도 표현할 수 있는데, 그렇게 해놓으니 ..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #2(기하학적 브라운 운동) 주가의 변동은 위너 과정만으로 설명하기 부족하다. 변동성이 주가에 큰 영향을 미치겠지만, 주가에는 드리프트가 존재한다. 카 레이싱의 드리프트요? 드리프트는 주가가 무위험 수익률 만큼 성장한다던가, 물가 상승(인플레이션) 만큼 상승한다던가 하는 등의 효과다. 이 효과는 주가 자체가 가지는 변동성과는 무관하다. 지금부터 학습할 기하학적 브라운 운동은 이 같은 주가의 특성을 반영하여 주가의 움직임을 표현한 것이다. 하지만 이 역시도 현실을 완벽하게 반영할 수 없기 때문에 몇 가지 가정을 전제한다. 1. 주가는 불확실하다. 2. 주가의 변화는 연속적이다. 3. 주가는 로그정규분포를 따른다. 4. 주가수익률은 정규분포를 따른다. 5. 주식의 기대수익률과 ..

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #1(랜덤워크, 위너과정) 블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델은 노벨상을 수상한 옵션의 가격 결정 모델이다. 모델명에 붙은 블랙, 숄즈, 머튼은 논문은 발표한 세 사람의 이름이다. 블랙과 숄즈가 함께 논문을 내놓았고, 머튼은 간발의 차이로 조금 늦게 거의 같은 논문을 올렸다는 여담이 있다. 자세한 것은 따로 알아보기로 하고, BSM 모델의 기초가 되는 주가의 확률과정을 학습하겠다. 어렵게 생각하면 한 없이 어려울 수 있고, 또 그렇게 생각하면 쉬운게 하나도 없으니;; 최대한 차근차근 익히자. 주가의 확률과정(Stochastic Process) 주가는 과연 어떻게 움직일까? 하는 의문에 한가지 가설을 설정하였다. 바로, 랜덤 워크(Random Walk) 과정이다. 랜덤 워크는 주로..