블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #4(유도 원리)

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #4(유도 원리)

블랙 숄즈 옵션가격 결정식을 그야말로 겉만 핥고 지나갈 수 없어서, 유도 과정 말고 원리를 알아보겠다.

유도 원리를 학습하다보면 수학사에 관련한 이야기가 대부분일 것 같다.

분명히 어려운 이론이 포함되어 있지만, 교양을 익히듯 학습해보겠다.

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이토 과정, 이토 - 되블린 공식

유도 원리는 확률과정으로부터 시작된다. 

기하 브라운 운동으로 표현한 주가의 확률과정 모델을 떠올려보겠다.

주가의 확률과정 모델 http://sejinworld.tistory.com/38

이는 이토 과정과 한 줄기인 듯 하다.

위 모형은 확률 미분 방정식이다. '그거 뭔가요?' 하지 말고, '음, 그렇구나' 하자.

이 방정식의 두 항은 적분의 형태로도 표현할 수 있는데, 그렇게 해놓으니 문제가 있다.

위너과정이 리만 적분으로 정의되지 않는다는 것이다.

리만 적분은 음... 적분의 개념을 안다면 구분구적법이란 말을 들어봤을 것이다.

곡선으로 된 그래프 아래의 넓이를 구할 때, 아주 잘게 자른 직사각형들의 합으로 계산했던 바로 그것이다.

구분구적법과 유사하지만 균등하게 자를 필요없는? 한 단계 진화된 적분법 정도로 알면 된다. 해석학을 배웠지만 이름만...

아무튼 리만 적분으로 정의되지 않는 위너과정을 일본의 수학자 이토 기요시가 이토 적분으로 정의했다고 한다.

이토 적분에 의해 다음과 같이 정의된 확률 과정을 이토 과정이라 부른다.

이때, x와 t에 대한 함수 f가 두 번 미분 가능하다면, 테일러 급수를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 dx에 이토 과정을 대입하면

가 되고, dt를 0으로 보내면 각 항마다 0으로 수렴하는 속도 차이가 있어서

위 식만을 얻게 되는데, 이 공식을 이토-되블린(Ito - Doeblin) 공식이라 한다.

되블린인지 더블린인지 외국인 이름은 표기하기 나름인가 보다.

그렇다면, 기하 브라운 운동을 이토 - 되블린 공식에 적용해보자.

앞서 f가 무슨 함수인지는 확실히 정하지 않았고, 단지 x와 t에 관한 함수였다.

그러한 함수에 주가의 확률과정 모형을 적용하였는데, 결론을 말하자면 이 함수 f를 옵션가격 결정에 활용하게 된다.

옵션 가격을 결정할 함수 f가 시간에 따라 변하는 기초자산 S와 시간 t에 관한 함수라는 설정에는 문제가 없다.

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유도 원리

유도 원리는 간단하다. 무위험 포트폴리오를 구성하여, 그 가치의 변화를 계산하는 방식이다.

가치의 변화를 두가지 방식으로 계산하여, 등식으로 만들어 함수 f를 정리하는 것이다.

이를 통해 f를 옵션의 값으로 설정하면서, 도움 안되는 dW 항을 제거할 수 있다.

우선 포트폴리오를 구성해보겠다.

옵션의 가치를 이항모델로 평가할 때와 동일한 포트폴리오 구성이다.

무위험 포트폴리오 http://sejinworld.tistory.com/11

기존의 구성과 다소 다르다고 느낄 수 있다.

헤지비율이 기초자산 가격의 변화폭 대비 옵션 가격의 변화폭이었는데,

아주 짧은 시간 변화에서 위와 같은 표현은 문제 없는 듯 하다.

그렇다면, 포트폴리오의 가치 변화를 표현해보자.

먼저 이 가치 변화를 '확률과정 모델'과 '이토 - 되블린 공식'을 대입해 표현해보겠다.

다음은 포트폴리오가 무위험이라는 점을 고려하여, 무위험 이자율(r)을 이용해 표현해보겠다.

동일한 시간 변화에 대해 두 식은 같은 값을 가지므로 등식으로 정리 할 수 있다.

이렇게 구해진 마지막 미분 방정식이 블랙 숄즈 옵션가격 결정식 유도의 시작이다.

지금까지 한게 시작도 아니고 기본 세팅이라고?? 그렇다.

위 편미분 방정식을 f에 대해 풀어서, 노벨상에 빛나는 공식이 만들어진 것이다.

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안 할거다. 정말 이정도만 알고 써먹기만 할거다.

그렇다고 블랙 숄즈 공식에 대한 학습이 끝난 것은 아니다.

부랴부랴 공식부터 때려놓고 하다보면, 디테일이나 파생되는 부분이 따라오기 마련이다.

다음에는 블랙 숄즈 옵션가격 결정 모형에서 가장 중요한 변동성에 대해 학습하겠다.