블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #1(랜덤워크, 위너과정)

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델 #1(랜덤워크, 위너과정)

블랙 숄즈 머튼(BSM) 모델은 노벨상을 수상한 옵션의 가격 결정 모델이다.

모델명에 붙은 블랙, 숄즈, 머튼은 논문은 발표한 세 사람의 이름이다.

블랙과 숄즈가 함께 논문을 내놓았고, 머튼은 간발의 차이로 조금 늦게 거의 같은 논문을 올렸다는 여담이 있다.

자세한 것은 따로 알아보기로 하고, BSM 모델의 기초가 되는 주가의 확률과정을 학습하겠다.

어렵게 생각하면 한 없이 어려울 수 있고, 또 그렇게 생각하면 쉬운게 하나도 없으니;; 최대한 차근차근 익히자.

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주가의 확률과정(Stochastic Process)

주가는 과연 어떻게 움직일까? 하는 의문에 한가지 가설을 설정하였다. 바로, 랜덤 워크(Random Walk) 과정이다.

랜덤 워크는 주로 술에 취한 사람의 걸음걸이에 비유하곤 한다. 이는 '왔다 갔다'하는 예상할 수 없는 움직임에서 비롯되었다.

주가의 움직임이 이런 주취자의 걸음걸이와 비슷하다면, 그 움직임을 랜덤 워크로 잘 설명할 수 있을 것이다.

랜덤 워크의 구체적인 표현을 학습하기 전에 간단한 예시를 들어 이해해보겠다.

동전을 던져서 앞면이 나오면 앞으로 1칸, 뒷면이 나오면 뒤로 1칸 움직인다고 생각하자.

동전을 여러번 던진 후의 위치를 VBA를 이용해 추적해보겠다.

Sub RandomWalk()
    Dim a As Double     '시행 결과
    Dim b As Double     '최종 결과
    
    Dim ran As Double   '랜덤 변수
    
    Dim n As Long       '시행 횟수
    Dim i As Long       '카운터 변수
    
    n = 250
    
    Randomize   '난수발생기 초기화
    
    For i = 1 To n
        ran = Rnd() '0부터 1사이의 난수생성
        If ran >= 0.5 Then
            a = 1
        Else
            a = -1
        End If
        
        b = b + a   '최종 결과는 시행 결과의 누적합으로 계산.
        Worksheets("Sheet1").Cells(i + 1, 1) = ran
        'Worksheets("시트이름").Cells(행 번호, 열 번호)
        Worksheets("Sheet1").Cells(i + 1, 2) = a
        Worksheets("Sheet1").Cells(i + 1, 3) = b
        
    Next i
        
 
End Sub

동전 던지기 말고, 0부터 1사이의 난수를 생성하였다.

0.5 이상이면 +1, 0.5미만이면 -1의 값을 주었다.

나는 이런 결과가 나왔지만, 랜덤이기 때문에 할 때마다 다른 결과가 나올 것이다.

결과를 보니, 주가의 움직임을 설명하기에 그런대로 큰 무리가 없어보인다.

이제 랜덤 워크 과정을 좀 더 구체적으로 학습해보자.

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랜덤 워크 과정

동전 던지기(w) 시행에서 앞면(H)일 때 1, 뒷면(T)일 때 -1의 값을 갖는 확률 변수 X를 생각해보자.

그리고 반복적으로 k번 시행하여 누적된 합을 M이라 하자. 여기서 M을 Symmetric Random Walk 라고 부르고,

이를 수식으로 표현하자면 다음과 같다.

확률변수 X가 어떤 분포를 이루는지 알 수 없지만, 공평한 동전을 가정하고 평균과 분산을 계산해보자.

이를 이용하여, M의 평균과 분산도 구해보자.

이렇게 평균과 분산을 계산하는 이유는 랜덤 워크가 어떤 분포를 가지는지 설정하기 위함이다.

확률 변수 X가 어떤 분포를 이루는지 모르는데, 그 합의 분포를 무슨 수로!!

통계학의 기초가 있다면, 눈치 챘을 것이다. 바로 중심 극한 정리다.

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중심 극한 정리

각각 독립이고 동일한 분포를 갖는 표본들의 합의 분포는 표본의 개수가 커질수록 정규분포를 따른다.

때로는 말보다 수식이 이해하기 편하니, 수식으로 표현해보겠다.

무한대로 표현하긴 했지만, 표본의 개수가 50 이상이면 잘 적용되는 편이다.

확률변수 X의 반복 시행은 서로 독립적이고, 동일한 평균과 분산의 형태를 갖는다.

즉, 시행 횟수가 충분한 Symmetric Random Walk의 분포는 평균은 0이고, 분산이 시행회수(k)인 정규분포를 따른다.

이러한 분포를 이용해서 랜덤 워크를 한 단계 확장해보겠다.

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위너 과정 (Wiener Process)

지금까지 동전을 던지는 시행을 횟수가 아니라, 세트(t)였다고 생각하자.

무슨 소리냐면, 1세트 안에 던지는 시행이 또 여러 번(n) 있다는 말이다. 다시말해, 구간 세분화하겠다는 이야기다.

이렇게 하는 이유는 연 단위로 정해진 구간에서 일간 또는 월간 움직임 적용할 때 유용?하기 때문인 것 같다.

그렇게 M을 세분화한 값을 W라 하고, 다음과 같이 표현하겠다.

nt는 전체 횟수이고, 각 세트의 시행 횟수인 n의 제곱근으로 스케일을 조절해준 값을 Scaled Random Walk 라 한다.

그리고 이 값을 n이 무한대로 커질 때, 위너 과정이라 부른다.

위너 과정은 랜덤 워크를 그대로 가져와 크기만 조정하였으므로, 마찬가지로 정규분포를 따른다.

마지막으로 한 가지, 짧은 구간() 변화에 대한 위너 과정의 분포를 고려해보자.

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지금까지 학습한 확률과정은 다음에 학습할 기하 브라운 운동에 적용하기 위함이다.

다음에는 주가의 움직임을 표현하는 기하 브라운 운동을 학습해보겠다.